Question

【题目】已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．

求证：

（1）△ACE≌△BCD；

（2）AE⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质求得∠BCD=ECA ，BC=CA，CD=CE，然后根据SAS即可证明；

（2）利用等腰直角三角形和全等三角形的性质得到∠B=∠CAB=45°，∠CAE=∠CBD=45°，从而证明∠DAE=90°即可．

解：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD

∴∠BCD=ECA ，BC=CA，CD=CE，

在△ACE和△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD．

（2）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形

∴BC=AC，∠ACB=90°，

∴∠B=∠CAB=45°

∵△ACE≌△BCD，

∴∠CAE=∠CBD=45°，

∴∠DAE=∠CAB+∠CAE=90°，
∴AE⊥AB．