Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线 ，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M.

（1）写出h、k的值及点A、B的坐标；

（2）判断 的形状，并计算其面积；

（3）点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1） , ， ， ；（2）是直角三角形，；（3）点P的坐标为(4,5)，(-4,21)或(2,-3)

【解析】

（1）根据左加右减，上加下减的方法求出函数解析式为 ，可得h、k的值，解方程可求出点A、B的坐标；

（2）首先求得点C和点M的坐标，然后求得BC、CM及BM的长，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；

（3）分两AB为边和AB为对角线两种情况讨论计算即可．

（1）∵抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x1)24，

∴h=1，k=4；

令y=0，即(x1)24=0

解得x=1或x=3，

∴A(1，0)，B(3，0)；

（2） 令 ，得 ，

点C的坐标为(0,-3)，点M的坐标为(1,-4)，

， ， ，

，

是直角三角形，

；

（3）由（1）知，抛物线 ，

点P是抛物线上一动点， 设 ,

, ， ，AB的中点N(1,0)，

以点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形，

分以下情况.

①当AB为边时， ， ，

或-4，当时， ，

；

当 时， ，

；

②当AB为对角线时，点N是PQ的中点，

, ， ，

点P的坐标为(4,5)，(-4,21)或(2,-3).