Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．

(1)求证：FH=ED；

(2)当AE为何值时，△AEF的面积最大？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE=2.

【解析】

(1)根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED；

(2)设AE=a，用含a的函数表示△AEF的面积，再利用函数的最值求面积最大值即可．

(1)证明：

∵四边形CEFG是正方形，

∴CE=EF，

∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，

∴∠FEH=∠DCE，

在△FEH和△ECD中

，

∴△FEH≌△ECD，

∴FH=ED；

(2)设AE=a，则ED=FH=4a，

∴S =AEFH=a(4a)，

= (a2) +2，

∴当AE=2时，△AEF的面积最大．