Question

11．王师傅想在一块三角形剩料中挖去一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积是9$\sqrt{3}$，这时CE=3，CF=3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再设CE=a，CF=b，则BF=6-b，AE=AC-b，再由矩形的面积公式可得出结论．

解答 解：∵BC=6，∠A=30°，
∴AC=$\frac{6}{tan30°}$=6$\sqrt{3}$．
设CE=a，CF=b，则BF=6-b，AE=6$\sqrt{3}$-b，
∵DF∥AC，DE∥BC，
∴△BDF∽△BAC，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BF}{BC}$，即$\frac{a}{6\sqrt{3}}$=$\frac{6-b}{6}$，
∴a=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$b，
∴S=ab=（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$b）b=-$\sqrt{3}$b²+6$\sqrt{3}$b，
∴当b=$\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=3时，S_最大=$\frac{-（6\sqrt{3}）^{2}}{-4\sqrt{3}}$=9$\sqrt{3}$，
∴此时a=6$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴最大矩形料的面积是9$\sqrt{3}$，此时CE=3，CF=3$\sqrt{3}$．
故答案为：9$\sqrt{3}$，3，3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．