Question

小红、小明在一起写作业，老师布置的一道思考题引起他们的兴趣：“已知半径为10cm的⊙O中有两条平行弦AB、CD，且AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离．”小红得到的结果是“两平行弦之间的距离为14cm”，小明得到的结果是“两平行弦之间的距离为2cm”．你认为他们俩谁对？为什么？说明理由．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：分类讨论

分析：作OE⊥AB于E，OE交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得EF⊥CD，根据垂径定理得AE=

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AB=6，CF=

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CD=8，再根据勾股定理，在Rt△AOE中计算出OE=8，在Rt△COF中计算出OF=6，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，如图1，EF=OE+OF；当圆心O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OE-OF，最后把OE与OF的值代入计算即可．

解答：解：他们都不对，两平行弦之间的距离为2cm或14cm．
理由如下：OE⊥AB于E，OE交CD于F，连结OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴AE=BE=

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AB=6，CF=DF=

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2

CD=8，
在Rt△AOE中，∵OA=10，AE=6，
∴OE=

OA2-AE2

=8，
在Rt△COF中，∵OC=10，CE=8，
∴OF=

OC2-CF2

=6，
当圆心O在AB与CD之间时，如图1，

EF=OE+OF=8+6=14（cm）；
当圆心O不在AB与CD之间时，如图2，

EF=OE-OF=8-6=2（cm），
综上所述，AB、CD间的距离为2cm或14cm．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．