Question

如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB=AD，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形，并证明．

Answer 1

考点：正方形的判定,矩形的性质

专题：

分析：根据矩形的性质和已知条件推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC=90°，即可求出矩形PEMF．根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．

解答：解：当P是BC的中点时，四边形PEMF为正方形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=

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AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°．
在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP

，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．

点评：本题主要考查对矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．