Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若AD平分∠BAC，且AD与BP相交于点O，OH⊥AC，计算线段OH的长度？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由条件可求得BC=PC=6，则△PHO和△PCB都是等腰直角三角形，利用角平分线可求得CD，再利用△AHO∽△ACD可求得OH．

解答：解：
∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
又AP=2，∴CP=AC-AP=6，
∴BC=CP，
即△BCP为等腰直角三角形，
∴OH⊥AC，
∴OH∥BC，
∴△PHO为等腰直角三角形，
设OH=x，则PH=x，AH=x+2，
∵AD平分∠BAC，
∴

BD

CD

=

AB

AC

=

10

8

，且BD+CD=6，
∴CD=

8

3

，
∵OH∥BC，
∴△AHO∽△ACD，
∴

AH

AC

=

OH

CD

，
即

2+x

8

=

x

8 3

，解得x=1，
即OH=1．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用角平分线的性质求得CD的长是解题的关键．注意方程思想的应用．