Question

如图，已知抛物线y=

3

8

x²-

3

4

x-3，与x轴的交点为A、D，与y轴交点为C．
（1）若点M在抛物线上，使△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标．
（2）若点B是抛物线上的一个动点，是否存在某个位置，使BC+BD的值最小？若存在，求出此时的坐标和BC+BD的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线的解析式，可求出点A、D与C的坐标．利用当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，求解即可，
（2）利用当点B与点C或D重合时BC+BD的值最小即可．

解答：解：（1）∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴当y=0时，

3

8

x²-

3

4

x-3=0，
解得x₁=-2，x₂=4．
当x=0，y=-3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-3）；
∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴对称轴为直线x=1．
∵点A，点D在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，
∵C点坐标为（0，-3），
∴M点坐标为（2，-3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．
当y=3时，

3

8

x²-

3

4

x-3=3，
解得x₁=1+

17

，x₂=1-

17

，
∴M点坐标为（1+

17

，3）或（1-

17

，3）．
综上所述，所求M点坐标为（2，-3）或（1+

17

，3）或（1-

17

，3）．
（2）结论：存在．
当点B与点C或D重合时BC+BD的值最小．
∵D点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-3）；
∴点B坐标为（-2，0）或（0，-3）；
∴BC+BD=CD=

22+32

=

13

．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．