Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴的正半轴相交于点A，过点A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于点N，交⊙P于点D．
（1）填空：点A的坐标是

 

，⊙P半径的长是

 

；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N点的坐标；
（3）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；
（2）根据S_△BNC：S_△AOB=15：2求出N点的y坐标，将y_N代入抛物线方程即可求得N点坐标；
（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MB•MD的值．

解答：解：（1）将B（2，0）、C（8，0）两点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c得：

4a+2b+c=0 64a+8b+c=0

解得

b=-10a c=16a

 ①
由题意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y轴，
设P点坐标为P（5，y_A ），由题意可知PA=PB=PC=5，
根据勾股定理可求得y_A=4，
∴A点坐标是（0，4），⊙P半径为的长为5，．
故答案为：（0，4），5；

（2）设点N的纵坐标为h．
将A点坐标（0，4）代入抛物线方程可得4=c，
联立①式便可解得a=

1

4

，b=

5

2

．
∴抛物线的方程为y=

1

4

x²-

5

2

x+4，
∴S_△BNC：S_△AOB=

1 2 BC•h

1 2 OB•OA

=

6h

2×4

=

15

2

，
解得h=10，
将h=10代入抛物线的方程y=

1

4

x²-

5

2

x+4得：

1

4

x²-

5

2

x+4=10
解得 x₁=-2，x₂=12，
观察图形可知x₂=12符合题意，
∴N点的坐标为N（12，10）；

（3）由题意可知△AOB∽△DBA，

AB

DA

=

AO

DB

=

OB

BA

，
∵OA=4，OB=2，
由勾股定理可知AB=2

5

，根据三角形相似可知BD=4

5

，
由射影定理可知：AB²=MB×BD，
（2

5

）²=MB×4

5

，
解得MB=

5

5

，MD=MB+BD=

5

5

+4

5

=

21 5

5

，
∴MB•MD=

5

5

×

21 5

5

=

21

5

．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似的性质和射影定理等知识点，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．