Question

如图所示，在等腰△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BE=ED=CF，求∠CEF+∠CAD．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：作GA⊥AC，使AG=CF，连接EG、FG，依据SAS证得△ECF≌△FAG，从而证得EF=FG，∠CEF=∠AFG，进而证得△EFG是等腰直角三角形，四边形EDAG是平行四边形，从而得出∠CEF=∠ADC-∠FEG，即可求得∠CEF+∠CAD的值．

解答：解：作GA⊥AC，使AG=CF，连接EG、FG，
∵AC=BC，BE=ED=CF，
∴CE=AF，
在△ECF和△FAG中，

CF=AG ∠C=∠FAG=90° EC=FA

，
∴△ECF≌△FAG（SAS），
∴EF=FG，∠CEF=∠AFG，
∵∠CEF+∠EFC=90°，
∴∠AFG+∠EFC=90°，
∴∠EFG=90°，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴∠FEG=45°，
∵GA⊥AC，BC⊥AC，
∴BC∥AG，
∵ED=CF，AG=CF，
∴ED=AG，
∴四边形EDAG是平行四边形，
∴EG∥DA，
∴∠ADC=∠CDG=∠CEF+∠FEG，
∴∠CEF=∠ADC-∠FEG，
∴∠CEF+∠CAD=∠ADC-∠FEG+∠CAD=90°-45°=45°．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形和等腰直角三角形是本题的关键．