Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.

Answer 1

【答案】(1)

(2)存在，P（ ）

（3）当P点位（2，-6）时，最大面积为8

【解析】

（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；

（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．

(1)设抛物线解析式为

把A. B. C三点坐标代入可得 解得

∴抛物线解析式为

(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，

∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，

∵C(0,4)，

∴D(0,2)，

∴P点纵坐标为2，

代入抛物线解析式可得，解得 (小于0,舍去)或 ∴存在满足条件的P点,其坐标为

(3)∵点P在抛物线上，

∴可设P，

过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，

∵B(4,0),C(0,4)，

∴直线BC解析式为y=x4，

∴F(t,t4)，

∴

∴S=S+S=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)

=PFOB ×4=2(t2)2+8，

∴当t=2时,S最大值为8,此时t3t4=6，

∴当P点坐标为(2,6)时，△PBC的最大面积为8.