【题目】已知,矩形中,,点分别在边上,直线交矩形对角线于点,将沿直线翻折,点落在点处,且点在射线上。
Ⅰ.如图①,当时,①求证;②求的长;
Ⅱ.请写出线段的长的取值范围,及当的长最大时的长。
【答案】Ⅰ. ①见解析;②;Ⅱ.0≤CP≤5,
【解析】
Ⅰ. ①先由折叠得出∠AEM=∠PEM,AE=PE,再根据已知判断出AB∥EP,进而判断出CN=CE,②设CN=CE=x,先根据勾股定理求出AC的长,再根据AB∥EP证出CPECAB,从而得到比例式即可.
Ⅱ. 先确定出PC最大和最小时的位置,即可得出PC的范围,最后用折叠的性质和勾股定理即可得出结论.
解:Ⅰ. ①∵△AME沿直线MN翻折,点A落在点P处,
∴△AME≌△PME.
∴∠AEM=∠PEM,AE=PE.
∵ABCD是矩形,∴AB⊥BC.
∵EP⊥BC,∴AB∥EP.
∴∠AME=∠PEM.
∴∠AEM=∠AME.
∴AM=AE,
∵ABCD是矩形,∴AB∥DC.
∴.∴CN=CE,
②设CN=CE=x.
∵ABCD是矩形,AB=4,BC=3,
∴根据勾股定理得AC=5.∴PE=AE=5-x.
∵EP⊥BC,AB∥EP
∴CPECAB
∴==.
∴,
∴x=,
即CN=
Ⅱ. ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AC=5,
由折叠知,AE=PE,
由三角形的三边关系得,PE+CE>PC,
∴AC>PC,
∴PC<5,
∴点E是AC中点时,PC最小为0,当点E和点C重合时,PC最大为AC=5,
∴0≤CP≤5,
如图,当点C,N,E重合时,PC=BC+BP=5,
∴BP=2,
由折叠知,PM=AM,
在Rt△PBM中,PM=4-BM,根据勾股定理得,PM2-BM2=BP2,
∴(4-BM)2-BM2=4,
∴BM=,
在Rt△BCM中,根据勾股定理得,MN=
当CP最大时MN=,
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【题目】为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.
(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,点A(4,0),以OA为对角线作正方形ABOC,若将抛物线y=x2沿射线OC平移得到新抛物线y=(x-m)2+k(m>0).则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时,m的值一定是( )
A. 2,6,8B. 0<m≤6C. 0<m≤8D. 0<m≤2或 6 ≤ m≤8
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【题目】某校组织学生参加“安全知识竞赛”(满分为分),测试结束后,张老师从七年级名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图,如图所示.试根据统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)张老师抽取的这部分学生中,共有 名男生, 名女生;
(2)张老师抽取的这部分学生中,女生成绩的众数是 ;
(3)若将不低于分的成绩定为优秀,请估计七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少.
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【题目】解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答、
(I)解不等式①,得
(II)解不等式②,得
(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(IV)原不等式组的解集为
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【题目】已知函数(,为常数)的图象经过点.
(1)求,满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是,当的值变化时,求关于的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当时,函数的最大值与最小值之差为16,求的值.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:①∠ECF=45°;②的周长为;③ ;④的面积的最大值.其中正确的结论是____.(填写所有正确结论的序号)
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【题目】给出以下命题:
①平分弦的直径垂直于这条弦;
②已知点、、均在反比例函数的图象上,则;
③若关于x的不等式组无解,则;
④将点向左平移3个单位到点,再将绕原点逆时针旋转90°到点,则的坐标为.
其中所有真命题的序号是_______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.
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