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【题目】如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点AB重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且CFAD相交于点G,连接ECEFEG,则下列结论:①∠ECF=45°;②的周长为;③ ;④的面积的最大值.其中正确的结论是____.(填写所有正确结论的序号)

【答案】①④

【解析】

①正确.如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.证明△FAE≌△EHCSAS),即可解决问题;

②③错误.如图2中,延长ADH,使得DH=BE,则CBE≌△CDHSAS),再证明GCE≌△GCHSAS),即可解决问题;

④正确.设BE=x,则AE=a-xAF=,构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.

解:如图1,在BC上截取BH=BE,连接EH

BE=BH,∠EBH=90°

EH=BE,∵AF=BE,∴AF=EH

∵∠DAM=EHB=45°,∠BAD=90°

∴∠FAE=EHC=135°

BA=BCBE=BH

AE=HC,∴△FAE≌△EHCSAS),

EF=EC,∠AEF=ECH

∵∠ECH+CEB=90°,∴∠AEF+CEB=90°,∴∠FEC=90°

∴∠ECF=EFC=45°,故①正确,

如图2中,延长ADH,使得DH=BE,则CBE≌△CDHSAS),

∴∠ECB=DCH,∴∠ECH=BCD=90°,∴∠ECG=GCH=45°

CG=CGCE=CH,∴△GCE≌△GCHSAS),∴EG=GH

GH=DG+DHDH=BE

EG=BE+DG,故③错误,

∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②错误,

BE=x,则AE=a-xAF=

∴∴

∴当时,的面积有最大值,最大值是,④正确;

故答案为:①④.

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