Question

如图，PA、PB为⊙O的两条切线，切点分别为A、B，直线CD切⊙O于点E．
（1）试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系；
（2）若∠P=α°，求∠COD的度数．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；
（2）连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=

1

2

∠AOB．

解答：解：（1）△PCD的周长=2PA．理由如下：
∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；
∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA；

（2）如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=

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2

∠AOB，
∵∠APB=α°，
∴∠AOB=180°-α°，
∴∠COD=90°-

1

2

α°．

点评：本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型．