Question

11．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）若AB=a，∠ABE=45°，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC即可；
（2）求出AE=AB=a，根据勾股定理求出BE即可．

解答 解：（1）△BEC是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
即△BEC是等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=AEB=45°，
∴AB=AE=a，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即BC=BE=$\sqrt{2}$a．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识；熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．