Question

15．已知二次函数y=-x²+mx-3．
（1）若y=-x²+mx-3的图象如图所示，且OA+OB=6，求此函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，C为抛物线顶点，CD在抛物线的对称轴上，求S_△BDC．

Answer 1

分析 （1）本题是用待定系数法求二次函数的解析式，由图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，就相当于方程-x²+mx-3=0两个根分别为x₁，x₂，由两根关系求解代入二次函数即可．
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，求得顶点坐标，在由两根关系求解得出OB-OA=AB=2$\sqrt{6}$，然后根据三角形面积公式即可求得．

解答 解：（1）设A（x₁，0）、B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，
∵二次函数y=-x²+mx-3的图象与x轴的正半轴交于A、B两点，
∴x₁+x₂=m，
∵OA+OB=6，
∴x₁+x₂=6，
∴m=6，
故抛物线的解析式为：y=-x²+6x-3．
（2）∵y=-x²+6x-3=-（x-3）²+6，
∴此抛物线的顶点（3，6），
∵OA+OB=6，
∴x₁+x₂=6，
∴（x₂-x₁）²+4x₁x₂=36，
∴（x₂-x₁）²=36-3×4=24，
∴x₂-x₁=2$\sqrt{6}$，
∴OB-OA=AB=2$\sqrt{6}$，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{4}$×$2\sqrt{6}$×6=3$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点．注意使用一元二次方程根与系数的关系求解关于两根的问题．