【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
【答案】(1)s=96﹣6t (2)或
【解析】
(1)点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形,根据三角形的面积公式就可以利用t表示,就得到S与t之间的函数关系式;
(2)以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:
①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.
在Rt△PMQ中根据勾股定理,就得到一个关于t的方程,就可以求出t.
解:(1)过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形.
∴PM=DC=12,
∵QB=16﹣t,
∴S=QBPM=(16﹣t)×12=96﹣6t
(2)由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:
①若PQ=BQ,在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,
由PQ2=BQ2得t2+122=(16﹣t)2,解得t=;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,PB2=(16﹣2t)2+122,由PB2=BQ2得(16﹣2t)2+122=(16﹣t)2,即3t2﹣32t+144=0,
此时,△=(﹣32)2﹣4×3×144=﹣704<0,所以此方程无解,
∴BP≠BQ.
③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16﹣2t)2+122得t1=,t2=16(不合题意,舍去).
综上所述,当t=或t=时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.
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【题目】如图,是具有公共边AB的两个直角三角形,其中,AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°.
(1)如图1,若延长DA到点E,使AE=BD,连接CD,CE.
①求证:CD=CE,CD⊥CE;
②求证:AD+BD=CD;
(2)若△ABC与△ABD位置如图2所示,请直接写出线段AD,BD,CD的数量关系.
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【题目】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,则一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为( )
A.B.2020C.2019D.2018
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部,将半圆O绕点A顺时针旋转a度(0°≤a≤180°).
(1)在旋转过程中,B′C的最小值是 ,如图2,当半圆O的直径落在对角线AC上时,设半圆O与AB的交点为M,则AM的长为
(2)如图3,当半圆O与直线CD相切时,切点为N,与线段AD的交点为P,求劣弧AP的长;
(3)在旋转过程中,当半圆弧与直线CD只有一个交点时,设此交点与点C的距离为d,请直接写出d的取值范围.
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【题目】已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=2时,求⊙O的半径;
(2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明.
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【题目】如图,抛物线与直线交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,已知A(0,3),C(3,0).(1)抛物线的解析式__;(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止.若使点M在整个运动中用时最少,则点E的坐标__.
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【题目】四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
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【题目】如图,二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
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【题目】实践操作
如图,是直角三角形,,利用直尺和圆规按下列要求作图,并在图中表明相应的字母.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)①作的平分线,交于点;②以为圆心,为半径作圆.
综合运用
在你所作的图中,
(2)与⊙的位置关系是 ;(直接写出答案)
(3)若,,求⊙的半径.
(4)在(3)的条件下,求以为轴把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积.
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