Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）求证：AC2=ADAB；

（3）若AD=，sinB=，求线段BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）BC=

【解析】

（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，证出AD∥OC，由平行线的性质证出∠DAC=∠OCA，即可得出结论；

（2）由圆周角定理证出∠ACB=90°=∠ADC，证明△ADC∽△ACB，得出对应边成比例，即可得出结论；

（3）由相似三角形的性质得出∠ACD=∠B，得出sin∠ACD=，求出AC=，AB=，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出BC的长．

（1）证明：连接OC，如图所示：

∵CD切⊙O于C，

∴CO⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO．

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD．

（2）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°=∠ADC，

∵∠DAC=∠CAO，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ADAB；

（3）解：由（2）得：△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∴sin∠ACD=，

∵AD=，

∴AC=，

∵AC2=ADAB，

∴AB=，

在Rt△ABC中，BC=．