【题目】一副含和角的三角板和叠合在一起,边与重合,(如图1),点为边的中点,边与相交于点,现将三角板绕点按顺时针方向旋转(如图2),在从到的变化过程中,点相应移动的路径长共为____.(结果保留根号)
【答案】
【解析】
当GH⊥DF时,BH的值最小,即点H先从BH=12(- 1)cm,开始向AB方向移动到最小的BH的值,再往BA方向移动到与F重合,求出BH的最大值,则点H运动的总路程为:BH的最大值-BH的最小值+[12(-1)-BH的最小值].
如图2和图3,在∠CGF从0°到60°的变化过程中,点H先向AB方向移,在往BA方向移,直到H与F重合(下面证明此时∠CGF=60度),此时BH的值最大,
如图3,当F与H重合时,连接CF,因为BG=CG=GF,
所以∠BFC=90度,
∵∠B=30度,
∴∠BFC=60度,
由CG=GF可得∠CGF=60度.
∵BC=12cm,所以BF=BC=6
如图2,当GH⊥DF时,GH有最小值,则BH有最小值,且GF//AB,连接DG,交AB于点K,则DG⊥AB,
∵DG=FG,
∴∠DGH=45度,
则KG=KH=GH=×(×6)=3
BK=KG=3
则BH=BK+KH=3+3
则点H运动的总路程为6-(3+3)+[12(-1)-(3+3)]=12-18(cm)
故答案为:
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【题目】如图,正方形ABCD中.点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形.连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H.若,则=( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
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【题目】为进一步了解,,,四名老师在学生中受欢迎的程度,学校随机抽取了个学生进行调查(被调查的学生必须选且只能选其中的一名老师),并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图:
(1)求和的值;
(2)扇形统计图中,对应的圆心角的度数是多少?
(3)求出的人数,并补全条形统计图.
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【题目】如图,等边三角形△ABC的边长为6,l是AC边上的高BF所在的直线,点D为直线l上的一动点,连接AD,并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE,连接EF,则EF的最小值为_____.
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【题目】类比探究:
(1)如图1,等边△ABC内有一点P,若AP=8,BP=15,CP=17,求∠APB的大小;(提示:将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处)
(2)如图2,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点,且∠EAF=45°.求证:EF2=BE2+FC2;
(3)如图3,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点O为△ABC内一点,连接AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,若AC=1,求OA+OB+OC的值.
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【题目】定义:如果一个三位数,它的各个数位上的数字都不为零,且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字,则称这个三位数为开合数.设为一个开合数,将的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与相加的和记为.例如:852是“开合数”,则.
(1)已知开合数(,且为整数),求的值;
(2)三位数是一个开合数,若百位数字小于个位数字,是一个整数,且能被个位数字与百位数字的差整除,请求满足条件的所有值.
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【题目】如图①,点A表示小明家,点B表示学校.小明妈妈骑车带着小明去学校,到达C处时发现数学书没带,于是妈妈立即骑车原路回家拿书后再追赶小明,同时小明步行去学校,到达学校后等待妈妈.假设拿书时间忽略不计,小明和妈妈在整个运动过程中分别保持匀速.妈妈从C处出发x分钟时离C处的距离为y1米,小明离C处的距离为y2米,如图②,折线O-D-E-F表示y1与x的函数图像;折线O-G-F表示y2与x的函数图像.
(1)小明的速度为 m/min,图②中a的值为 .
(2)设妈妈从C处出发x分钟时妈妈与小明之间的距离为y米.当12≤x≤30时,求出y与x的函数表达式.
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【题目】如图,旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处,某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度,在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°,AC=10米,又测得∠BDA=45°.已知斜坡CD的坡度为i=1:,求旗杆AB的高度(,结果精确到个位).
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【题目】学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm,如图所示,已知每个菱形图案的边长为10cm,其中一个内角为60°.
(1)求一个菱形图案水平方向的对角线长;
(2)若d=26,纹饰的长度L能否是6010cm?若能,求出菱形个数;若不能,说明理由.
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