Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．

（1）求证：DE垂直AC；

（2）求证：△ABE≌△CBD；

（3）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）75°．

【解析】

（1）延长DE交AC于点H,根据等腰直角三角形的性质可得: ∠BAC=45°,∠BDE=45°，再根据三角形内角和定理可得∠DHA=90°,即可求证;

（2）由已知条件根据SAS容易证明△ABE≌△CBD；

（3）由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定∠BDC的度数.

（1）延长DE交AC于一点H,

∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，

∴∠ABE=∠CBD=90°,

∵AB=BC,BE=BD,

∴∠BAC=45°,∠BDE=45°，

即∠DAH=45°,∠ADH=45°，

∴∠DHA=90°,

∴DE⊥AC.

（2）证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°．在△ABE和△CBD中．

,

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（3）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°．

∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°．

∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°.