Question

16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD平分BC．求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 首先延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，由AD平分BC，可利用SAS，判定△ACD≌△EBD，继而证得∠E=∠CAD，AC=BE，又由AD平分∠BAC，证得∠BAD=∠E，然后由等角对等边，证得AB=BE=AC．

解答 证明：延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，
∵AD平分BC，
∴BD=CD，
在△ACD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADC=∠EDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴∠E=∠CAD，AC=BE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AB=BE，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形．

点评 此题考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．