在一个边长为a的正方形ABCD中．(1)如图1.如果N是AD中点.F为AB中点.连接DF.CN．①求证:DF=CN,②连接AC．则DH:HE:EF= ．(2)如图2.如果点E.M分别是线段AC.CD上的动点.假设点E从点A出发.以2cm/s速度沿AC向点C运动.同时点M从点C出发.以1cm/s的速度沿CD向点D运动.运动时间为t.连结DE并延长.交正方形的边于点F.过点M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中．
（1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN．
①求证：DF=CN；
②连接AC．则DH：HE：EF=

．（直接写出结果）
（2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点，假设点E从点A出发，以

cm/s速度沿AC向点C运动，同时点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，运动时间为t（t＞0），连结DE并延长，交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．求证：当点F是边AB中点时，DM=2CM．

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：动点型

分析：（1）①如图1，证明AF=DN；证明△ADF≌△DCN，即可解决问题．
（2）如图2，证明∠GDE=∠DMN；证明△DGE≌△MDN，得到DN=EG=t=CM；证明△ADF∽△DMN，得

；
证明

，得到DM=2DN，即可解决问题．

解答：

解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠FAD=∠ADC=90°；而点F、N分别为AB、AD的中点，
∴AF=DN；
在△ADF与△DCN中，

AF=DN

∠FAD=∠NDC

AD=DC

，
∴△ADF≌△DCN（SAS），
∴DF=CN．
②6：4：5．
（2）过点E作EG⊥AD于点G，
依题意得，AE=

t，易求AG=EG=t，
CM=t，DG=DM=a-t；
∵MN⊥DF，∠MDN=90°，
∴∠GDE+∠EDM=∠EDM+∠DMH，
∴∠GDE=∠DMN；
在△DGE与△MDN中，

∠EGD=∠NDA

DG=DM

∠GDE=∠DMN

，
∴△DGE≌△MDN（ASA），
∴DN=EG=t=CM；
∵∠FAD=∠MDN，∠ADF=∠DMN，
∴△ADF∽△DMN，
∴

；
又∵点F是线段AB中点，AB=AD，
∴

，
∴DM=2DN；
∵DN=CM，
∴DM=2CM．

点评：该题以正方形为载体，以正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

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