Question

阅读下面材料：
小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD是△ABC的角平分线，AB=m，AC=n，求

BD

DC

的值．

小明发现，分别过B，C作直线AD的垂线，垂足分别为E，F．通过推理计算，可以解决问题（如图2）．请回答，

BD

DC

=

 

．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，四边形ABCD中，AB=2，BC=6，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，CD⊥BD．AC与BD相交于点O．
（1）

AO

OC

=

 

．
（2）tan∠DCO=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：小明的思路是先证明△BDF∽△CDE，得出

BD

DC

=

BF

CE

，再证明△ABF∽△ACE，得出

AB

AC

=

BF

CE

，因此得出

BD

DC

=

AB

AC

．
（1）根据小明的结论得

AO

OC

=

AB

BC

=

2

6

=

1

3

；
（2）作AE⊥BD于E，证明△AOE∽△COD，求出AE、BE、DE、OD、的长即可求出tan∠DCO的值．

解答：解：

BD

DC

=

AB

AC

=

m

n

；
（1）

AO

OC

=

AB

BC

=

2

6

=

1

3

；
（2）作AE⊥BD于E，如图所示：
∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COD，
∴

AE

CD

=

OE

OD

=

AO

OC

=

1

3

，
∵CD=3，∴AE=1，
∵BD平分∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD=3

3

，
∵AB=2，
∴BE=

3

，
∴DE=2

3

，
∴OD=2

3

×

3

4

=

3 3

2

，
∴tan∠DCO=

OD

CD

=

3 3 2

3

=

3

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的运用；证明三角形相似是解决问题的关键．