Question

如图，AC是⊙O的直径，⊙O交AB于E，DE与⊙O的相切，D为BC的中点，
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，AE=4，求线段BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）根据切线的判定定理只需证明AC⊥BC即可；
（2）根据勾股定理求得CE的长，然后根据相似三角形对应边成比例即可求得BC的长．

解答：（1）证明：连接OE，CE，
∵AC是直径．
∴CE⊥AB．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB，
∴DE=BD=DC，
∴∠DCE=∠DEC．
又∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC．
∴∠DCE+∠OCE=∠DEC+∠OEC．
即∠ACD=∠OED．
∵DE与⊙O的相切，
∴∠OED=90°．
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵⊙O的半径为6，
∴AC=12，
∴在RT△ACE中，CE=

AC2-CE2

=

122-42

=8

2

，
∵CE⊥AB，
∴△ACE∽△ABC，
∴

BC

CE

=

AC

AE

，
∴BC=

CE•AC

AE

=

8 2 ×12

4

=24

2

．

点评：此题主要考查切线的判定、圆周角定理、三角形相似的判定和性质及勾股定理等知识点的综合运用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．