Question

正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG； 
（3）在（2）的条件下，如果

AB

GF

=

6

5

，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）由正方形的性质可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD，由直角三角形的性质∠EAF=∠BAD=90°，就可以得出∠BAE=∠DAF，证明△ABE≌△ADF就可以得出结论；
（2）如图2，连结AG，由且点G是斜边MN的中点，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45°，就有∠EAB+∠DAG=45°，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，从而得出结论；
（3）设AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k-x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF-GF=k+x，由勾股定理就可以x的值而得出结论．

解答：解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．
∵∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF-∠EAD=∠BAD-∠EAD，
∴∠BAE=∠DAF．
在△ABE和△ADF中

∠B=∠ADF AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA）
∴AE=AF；
（2）如图②，连接AG，
∵∠MAN=90°，∠M=45°，
∴∠N=∠M=45°，
∴AM=AN．
∵点G是斜边MN的中点，
∴∠EAG=∠NAG=45°．
∴∠EAB+∠DAG=45°．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
即∠GAF=45°，
∴∠EAG=∠FAG．
在△AGE和AGF中，

AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG

，
∴△AGE≌AGF（SAS），
∴EG=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴EG=BE+DG；
（3）G不一定是边CD的中点．
理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，
∴CE=6k-x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，
∴CG=CF-GF=k+x，
在Rt△ECG中，由勾股定理，得
（6k-x）²+（k+x）²=（5k）²，
解得：x₁=2k，x₂=3k，
∴CG=4k或3k．
∴点G不一定是边CD的中点．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．