Question

如图，点E，F在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF=1：4，过点E作EP⊥y轴于点P，已知△OEP的面积为1．
（1）求k的值；
（2）求△OEF的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，根据反比例函数的比例系数的几何意义由△OEP的面积为1易得k=2．
（2）求得反比例函数解析式为y=

2

x

，再证明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=4PE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，

2

t

），则F点的坐标为（4t，

2

4t

），由于S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，S_△OFD=S_△OEC=1，所以S_△OEF=S_梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算．

解答：解：（1）作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，
∵△OEP的面积为1，
∴

1

2

|k|=1，
而k＞0，
∴k=2，
（2）∵k=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

，
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴

PE

HF

=

BE

BF

=

1

4

，即HF=4PE，
设E点坐标为（t，

2

t

），则F点的坐标为（4t，

2

4t

），
∵S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，
而S_△OFD=S_△OEC=1，
∴S_△OEF=S_梯形ECDF=

1

2

（

2

4t

+

2

t

）（4t-t）
=

15

4

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义；会利用相似比确定线段之间的关系．