Question

如图，⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，若tan∠A=

1

3

，求sin∠DCB的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OB，根据切线的性质，得出OB⊥BC，进而求得DC=BC，根据tan∠A=

1

3

，得出OA=OB=3OD，设DC=BC=x，OD=y，则OA=OB=3y，根据勾股定理求得x=4y，进而求得OC=OD+DC=x+y=5y，然后根据解直角三角形即可求得sin∠DCB的值．

解答：解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠A+∠ADO=∠ABO+∠DBC=90°，
∴∠BDC=∠DBC，
∴DC=BC，
∵tan∠A=

OD

OA

=

1

3

，
∴设DC=BC=x，OD=y，则OA=OB=3y，
在RT△OBC中，根据勾股定理OB²+BC²=OC²，
∴（3y）²+x²=（x+y）²，
解得x=4y，
∴OC=OD+DC=x+y=5y，
∴sin∠DCB=

OB

OC

=

3y

5y

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角函数，连接圆心和切点从而得出直角三角形是常用的方法．