Question

某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax²+bx-75．其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？（直接写出答案）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可；
（3）利用二次函数对称性得出每天的销售利润不低于16元时x的取值范围即可．

解答：解：（1）y=ax²+bx-75图象过点（5，0）、（7，16），
∴

25a+5b-75=0 49a+7b-75=16

，
解得：

a=-1 b=20

．
故y=-x²+20x-75；

（2）y=-x²+20x-75=-（x-10）²+25，则其顶点坐标是（10，25），
当x=10时，y_最大=25．
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；

（3）∵函数y=-x²+20x-75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=-x²+20x-75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数对称性得出是解题关键．