Question

如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，4）、D（3，0）．
（1）求经过点C的反比例函数的解析式；
（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COB的面积相等．求点P的坐标．

Answer 1

考点：菱形的性质,待定系数法求反比例函数解析式

专题：

分析：（1）根据菱形的性质可得菱形的边长，进而可得点C的坐标，代入反比例函数解析式可得所求的解析式；
（2）设出点P的坐标，易得△COB的面积，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，继而可求得点P的坐标．

解答：解：（1）由题意知，OA=4，OD=3
在Rt△AOB中，AD=

32+42

=5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=BC=AB=CD=5，
∴C（3，-5）．
设经过点C的反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0），
则

k

3

=-5，
解得：k=-15．
故所求的反比例函数的解析式为y=-

15

x

；

（2）设P（x，y）
∵AD=AB=5，OA=4，
∴OB=1，S_△COB=

1

2

×1×3=

3

2

，
即

1

2

×OA×|x|=

3

2

，
∴|x|=

3

4

，
∴x=±

4

3

，
此时y=±

45

4

，
故点P的坐标为（

3

2

，-

45

4

），（-

3

2

，

45

4

）．

点评：本题考查了菱形的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，根据菱形的四条边相等的性质得到点C的坐标，注意：点P的横坐标的有两种情况．