Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x，CF=y．
（1）当sin∠APB=

4

5

时，求CE的长；
（2）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当

PE

AP

=

1

2

时，求CF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据矩形的性质和垂直的性质即可证明△PCE∽△ABP，根据相似三角形对应边成比例即可求得CE的长；
（2）根据EC∥AB，求得△ECF∽△ABF，得出FC：FB=EC：AB，再利用（1）中相似三角形的性质即可证明CE：BP=PC：AB，从而求得y关于x的函数关系式．
（3）根据△PCE∽△ABP，得出

PC

AB

=

CE

BP

=

PE

AP

=

1

2

，从而求得PC=2，PB=3，进而求得CE=

3

2

，然后根据AB∥CD，得出

CF

BF

=

CE

AB

，从而求得CF的长．

解答：解：（1）在RT△APB中，AB=4，sin∠APB=

4

5

，
∴sin∠APB=

AB

AP

=

4

5

，
∴AP=5，
∴PB=

AP2-AB2

=3，
∴PC=BC-PB=5-3=2，
在矩形ABCD中，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠APN=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∵∠ECP=∠B=90°，
∴△PCE∽△ABP；
∴CE：BP=PC：AB，
∴CE=

PC•BP

AB

=

2×3

5

=

6

5

．
（2）∵EC∥AB，
∴△ECF∽△ABF，
∴FC：FB=EC：AB，
∵△PCE∽△ABP，
∴CE：BP=PC：AB，
即CE=

x(5-x)

5

，
∴

y

5+y

=

x(5-x)

52

，
整理得，y=-

5(x2-5x)

x2-5x+16

，
∴y关于x的函数关系式为y=-

5(x2-5x)

x2-5x+16

（0＜x＜5）．
（3）∵△PCE∽△ABP，
∴

PC

AB

=

CE

BP

=

PE

AP

=

1

2

，
∴PC=2，PB=3，
∴CE=

3

2

，
∵AB∥CD，
∴

CF

BF

=

CE

AB

，
即

CF

5+CF

=

3 2

4

，
解得CF=3．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理以及矩形的性质．三角形相似的判定和性质是本题的重点．