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【题目】在矩形中,是射线上的点,连接,将沿直线翻折得

1)如图①,点恰好在上,求证:

2)如图②,点在矩形内,连接,若,求的面积;

3)若以点为顶点的三角形是直角三角形,则的长为  

【答案】1)见解析;(2的面积为;(3515

【解析】

1)先说明∠CEF=AFB,即可证明

2)过点与点,交于点,则;再结合矩形的性质,证得△FGE∽△AHF,得到AH=5GF;然后运用勾股定理求得GF的长,最后运用三角形的面积公式解答即可;

3)分点E在线段CD上和DC的延长线上两种情况,然后分别再利用勾股定进行解答即可.

1)解:∵矩形中,

由折叠可得

2)解:过点与点,交于点,则

∵矩形中,

由折叠可得:

中,

的面积为

3)设DE=x,以点EFC为顶点的三角形是直角三角形,则:

①当点E在线段CD上时,∠DAE<45°,

∴∠AED>45°,由折叠性质得:∠AEF=AED>45°,

∴∠DEF=AED+AEF>90°,

∴∠CEF<90°,

∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°,

a,当∠EFC=90°时,如图所示:

由折叠性质可知,∠AFE=D=90°,

∴∠AFE+EFC=90°,

∴点AFC在同一条线上,即:点F在矩形的对角线AC上,

RtACD中,AD=5CD=AB=3,根据勾股定理得,AC=

由折叠可知知,EF=DE=xAF=AD=5

CF=AC-AF=-5

RtECF中,EF2+CF2=CE2

x2+-52=3-x2,解得x=即:DE=

b,当∠ECF=90°时,如图所示: FBC上,由折叠知,EF=DE=xAF=AD=5

RtABF中,根据勾股定理得,BF==4

∴CF=BC-BF=1

RtECF中,根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2

3-x2+12=x2,解得x=,即:DE=

②当点EDC延长线上时,CF在∠AFE内部,而∠AFE=90°,

∴∠CFE<90°,

∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°,

a、当∠CEF=90°时,如图所示

由折叠知,AD=AF=5,∠AFE=90°=D=CEF

∴四边形AFED是正方形,

DE=AF=5

b、当∠ECF=90°时,如图所示:

∵∠ABC=BCD=90°,

∴点FCB的延长线上,

∴∠ABF=90°,由折叠知,EF=DE=xAF=AD=5

RtABF中,根据勾股定理得,BF==4

CF=BC+BF=9

RtECF中,根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2

∴(x-32+92=x2,解得x=15,即DE=15

故答案为515

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平均数(环)

中位数(环)

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小华

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小亮

8

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b.甲学校学生成绩在这一组的是:

80 80 81 81.5 82 83 83 84

85 86 86.5 87 88 88.5 89 89

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平均数

中位数

众数

优秀率

83.3

84

78

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