【题目】在矩形中,,,是射线上的点,连接,将沿直线翻折得.
(1)如图①,点恰好在上,求证:∽;
(2)如图②,点在矩形内,连接,若,求的面积;
(3)若以点、、为顶点的三角形是直角三角形,则的长为 .
【答案】(1)见解析;(2)的面积为;(3)、5、15、
【解析】
(1)先说明∠CEF=∠AFB和,即可证明∽;
(2)过点作交与点,交于点,则;再结合矩形的性质,证得△FGE∽△AHF,得到AH=5GF;然后运用勾股定理求得GF的长,最后运用三角形的面积公式解答即可;
(3)分点E在线段CD上和DC的延长线上两种情况,然后分别再利用勾股定进行解答即可.
(1)解:∵矩形中,
∴
由折叠可得
∵
∴
∴
在和中
∵,
∴∽
(2)解:过点作交与点,交于点,则
∵矩形中,
∴
由折叠可得:,,
∵
∴
∴
在和中
∵
∴∽
∴
∴
∴
在中,
∵
∴
∴
∴的面积为
(3)设DE=x,以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形,则:
①当点E在线段CD上时,∠DAE<45°,
∴∠AED>45°,由折叠性质得:∠AEF=∠AED>45°,
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°,
∴∠CEF<90°,
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°,
a,当∠EFC=90°时,如图所示:
由折叠性质可知,∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFE+∠EFC=90°,
∴点A,F,C在同一条线上,即:点F在矩形的对角线AC上,
在Rt△ACD中,AD=5,CD=AB=3,根据勾股定理得,AC=,
由折叠可知知,EF=DE=x,AF=AD=5,
∴CF=AC-AF=-5,
在Rt△ECF中,EF2+CF2=CE2,
∴x2+(-5)2=(3-x)2,解得x=即:DE=
b,当∠ECF=90°时,如图所示: 点F在BC上,由折叠知,EF=DE=x,AF=AD=5,
在Rt△ABF中,根据勾股定理得,BF==4,
∴CF=BC-BF=1,
在Rt△ECF中,根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
(3-x)2+12=x2,解得x=,即:DE=;
②当点E在DC延长线上时,CF在∠AFE内部,而∠AFE=90°,
∴∠CFE<90°,
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°,
a、当∠CEF=90°时,如图所示
由折叠知,AD=AF=5,∠AFE=90°=∠D=∠CEF,
∴四边形AFED是正方形,
∴DE=AF=5;
b、当∠ECF=90°时,如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°,
∴点F在CB的延长线上,
∴∠ABF=90°,由折叠知,EF=DE=x,AF=AD=5,
在Rt△ABF中,根据勾股定理得,BF==4,
∴CF=BC+BF=9,
在Rt△ECF中,根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴(x-3)2+92=x2,解得x=15,即DE=15,
故答案为、、5、15.
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【题目】如图1,抛物线的顶点为点,与轴的负半轴交于点,直线交抛物线W于另一点,点的坐标为.
(1)求直线的解析式;
(2)过点作轴,交轴于点,若平分,求抛物线W的解析式;
(3)若,将抛物线W向下平移个单位得到抛物线,如图2,记抛物线的顶点为,与轴负半轴的交点为,与射线的交点为.问:在平移的过程中,是否恒为定值?若是,请求出的值;若不是,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点B (4,0)、D (5,3),设它与x轴的另一个交点为A(点A在点B的左侧),且△ABD的面积是3.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求∠ADB的正切值;
(3)若抛物线与y轴交于点C,直线CD交x轴于点E,点P在射线AD上,当△APE与△ABD相似时,求点P的坐标.
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【题目】若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,对于以下说法:①b2﹣4ac>0②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解③x1<x0<x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0其中正确的是( )
A.①③④B.①②④C.①②③D.②③
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【题目】为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛,现对他们的射击水平进行测试,两人在相同条件下各射击6次,命中的环数如下(单位:环):
小华:7,8,7,8,9,9; 小亮:5,8,7,8,10,10.
(1)填写下表:
平均数(环) | 中位数(环) | 方差(环2) | |
小华 | 8 | ||
小亮 | 8 | 3 |
(2)根据以上信息,你认为教练会选择谁参加比赛,理由是什么?
(3)若小亮再射击2次,分别命中7环和9环,则小亮这8次射击成绩的方差 .(填“变大”、“变小”、“不变”)
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【题目】(1)问题发现
如图1,是等边三角形,点,分别在边,上.若,则,,,之间的数量关系是 ;
(2)拓展探究
如图2,是等腰三角形,,,点,分别在边,上.若,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
(3)解决问题
如图3,在中,,,点从点出发,以img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/25/16/9b7a314d/SYS202005251646204964745826_ST/SYS202005251646204964745826_ST.021.png" width="47" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />的速度沿方向匀速运动,同时点从点出发,以的速度沿方向匀速运动,当其中一个点运动至终点时,另一个点随之停止运动.连接,在右侧作,该角的另一边交射线于点,连接.设运动时间为,当为等腰三角形时,直接写出的值.
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【题目】如图,抛物线 与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m为任意实数);⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】为迎接2022年冬奥会,鼓励更多的学生参与到志愿服务中来,甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动,经过初选,两所学校各有400名学生进入综合素质展示环节.为了了解两所学校这些学生的整体情况,从两校进人综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲学校学生成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组:,,,,,);
b.甲学校学生成绩在这一组的是:
80 80 81 81.5 82 83 83 84
85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c.乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(85分及以上为优秀)如下:
平均数 | 中位数 | 众数 | 优秀率 |
83.3 | 84 | 78 | 46% |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)甲学校学生A,乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分,这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______(填“A”或“B”);
(2)根据上述信息,推断_____学校综合素质展示的水平更高,理由为_____(至少从两个不同的角度说明推断的合理性);
(3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队,预估甲学校分数至少达到____分的学生才可以入选.
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