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【题目】如图,BC为⊙O的直径,CA是⊙O的切线,连接AB交⊙O于点D,连接CD,∠BAC的平分线交BC于点E,交CD于点F.

(1)求证:CE=CF;

(2)若BD=DC,求的值.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】

(1)如下图,由已知易得∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°,由此可得∠1+∠3=90°,∠2+∠5=90°结合∠1=∠2,可得∠3=∠5,结合∠3=∠4可得∠4=∠5,从而可得CE=CF;

(2)由(1)中所得∠1=∠2,∠3=∠5可得△ADF∽△ACE,由此可得 BD=DC,∠BDC=90°可得tan∠ABC=再证∠ACD=∠ABC即可得到tan∠ACD=这样在Rt△ACD中,可得sin∠ACD=由此即可得到.

(1)∵BC为直径,

∴∠BDC=∠ADC=90°

∴∠1+∠3=90°

∵AC⊙O的切线,

∴∠ACB=90°

∴∠2+∠5=90°

∵AE平分∠BAC,

∴∠1=∠2

∴∠3=∠5

∵∠3=∠4

∴∠4=∠5

∴ CF=CE

(2)由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠5,

∴△ADF∽△ACE,

∵BD=DC,∠BDC=90°

∴tan∠ABC=

∵∠ABC+∠BAC=90°, ∠ACD+∠BAC=90°

∴∠ACD=∠ABC,

∴tan∠ACD=

∴sin∠ACD=

.

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