Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线其表达式为.

（1）当该抛物线过原点时，求的值；

（2）坐标系内有一矩形OABC,其中、.

①直接写出C点坐标；

②如果抛物线与该矩形有2个交点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）m=0（2）①（0，2）②当或时，图象与矩形有2个交点

【解析】

（1）根据题意将原点的坐标（0，0）代入抛物线中，即可解得m的值；

（2）①由已知条件结合矩形的性质可得OC=AB=2，由此可得点C的坐标为（0，2）；

②由可知，抛物线的开口向上，顶点在x轴上；由此可知：当抛物线对称轴右侧的图象过点C时，抛物线与矩形只有1个交点，而当抛物线过原点是，抛物线和矩形有两个交点，即当抛物线对称轴右侧的图象过线段OC上的点（不包括点C）时，抛物线与矩形有两个交点；同理当抛物线对称轴左侧的图象过线段AB上的点（不包括点B）时，抛物线与矩形也有两个交点，这样结合已知条件即可求得对应的m的取值范围了.

（1）∵ 的图象过原点，

∴，

解得；

（2）①∵点A、B的坐标分别为（4，0）和（4，2），

∴AB=2，

∵四边形OABC是矩形，

∴OC=2，

∴点C的坐标为（0，2）；

②由于，

∴该函数图象开口向上，顶点在x轴上，

如下图所示：当对称轴右侧的图象过点时图象与矩形有1个交点，

此时：，解得（舍去）或，

当抛物线过原点时，抛物线与矩形有2个交点，

此时：由（1）可得，

∴当，时图象与矩形有2个交点；

同理：当图象过点时解得，

当图象对称轴左侧部分过是，解得，

∴当时，抛物线与矩形也有两个交点；

综上所述，当或时，抛物线与矩形有2个交点.