Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-1,0）和点B（4,5）.

（1）求该抛物线的函数表达式.

（2）求直线AB关于x轴对称的直线的函数表达式.

（3）点P是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线l，直线l与该抛物线交于点M，与直线AB交于点N.当PM < PN时，求点P的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据待定系数法，可得二次函数的解析式；

（2）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据关于x轴对称的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案；

（3）根据PM＜PN，可得不等式，利用绝对值的性质化简解不等式，可得答案．

（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入函数解析式，得：

，解得：，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）设AB的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），B（4，5）代入函数解析式，得：

，解得：，直线AB的解析式为y=x+1，直线AB关于x轴的对称直线的表达式y=﹣（x+1），化简，得：y=﹣x﹣1；

（3）设M（n，n2﹣2n﹣3），N（n，n+1），PM＜PN，即|n2﹣2n﹣3|＜|n+1|．

∴|（n+1）（n-3）|-|n+1|＜0，∴|n+1|（|n-3|-1）＜0．

∵|n+1|≥0，∴|n-3|-1＜0，∴|n-3|＜1，∴－1＜n-3＜1，解得：2＜n＜4．

故当PM＜PN时，求点P的横坐标xP的取值范围是2＜xP＜4．