Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0
（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的极坐标方程对应的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣4=0，即（x﹣1）2+y2=5

直线l的参数方程为 ，代入并整理可得t2+（ m﹣1）t+m2﹣4=0

∵直线l与曲线C没有公共点，

∴△=（ m﹣1）2﹣4（m2﹣4）＜0，

∴m＜﹣ ﹣2 或m＞﹣ +2 ；

（2）解：若m=0，直线l的极坐标方程为θ= ，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0．

直线l被曲线C截得的弦的端点的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，

∴直线l被曲线C截得的弦长=|ρ1﹣ρ2|= = ．

【解析】（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程为 ，代入并整理可得t2+（ m﹣1）t+m2﹣4=0，利用直线l与曲线C没有公共点，即可求m的取值范围；（2）若m=0，若m=0，直线l的极坐标方程为θ= ，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用极径的意义求直线l被曲线C截得的弦长．