【题目】如图,若折叠矩形的一边,使点落在边的点处,已知折痕且.以为原点,所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,抛物线经过点.
(1)求的值;
(2)点是线段上一动点,点在抛物线上,且始终满足,在点运动过程中,能否使得?若能,求出所有符合条件的点的坐标;若不能,请说明理由;
(3)已知点是拋物线上一动点,点在的延长线上,且,若在轴上存在一点,使有最小值,求点的纵坐标的最大值.
【答案】(1);(2)存在点,;(3)点纵坐标的最大值为.
【解析】
(1)由折叠和矩形的性质可知:∠EDB=∠BCE=90°,可证△ABD∽△ODE,从而求c;
(2)由(1)中的相似三角形可求得DA、AB,进而求出F的坐标,得BF=DF.再利用直角三角形的性质可得MD=MB,从而推导出结论;
(3)设抛物线与x轴交于M、N两点,过点D作x轴垂线交BC于点G.可求得DM=DN=DG,进而得出M、N为满足条件的点Q.
解:(1)由,设,则,,∴.
由题意,得,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,∴,
∴.
∵,在中,由勾股定理,得,即,
解得.∴.
∵抛物线经过点,
∴.
(2)假设存在.
由(1)知,,∴,.
∴.
易求直线BE的解析式为.
设,作PG⊥x轴于点,轴于点H.
∵,,
∴.
① 图1,若点在点左侧时,
则,
,,
∴.
∵点在线段BE上.
∴.
解得(舍去)或.
∴.
② 图2,若点在点右侧时,
则,,.
∴.
∵点在线段BE上,
∴,
解得(舍去)或.
∴
综上,存在点,,使得.
(3)∵,点在的延长线上,且,∴.
如图3,当点在轴左侧时,与轴的交点就是使得有最小值的点.
显然,当直线与抛物线只有一个公共点时,点的纵坐标最大.
设直线的解析式为y=kx+b,则,
∴,∴.
令,
即,
∴,
解得(舍去),.
∴直线的解析式为.
∴点纵坐标的最大值为.
如图4,当点在轴右侧时,作点关于轴的对称点,则.连接交轴于点,则点就是使得有最小值的点.
显然,当直线与抛物线只有一个公共点时,点的纵坐标最大.设直线的解析式为y=kx+b,则.
∴,∴.
令,
即,
∴,
解得(舍去),.
∴直线的解析式为.
∴点的纵坐标的最大值为.
∵,∴,∴,
∴点纵坐标的最大值为.
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【题目】如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,抛物线的对称轴与轴交于点,顶点坐标为.
(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标;
(2)如图1,点为抛物线上一点,点不与点重合,当时,过点作轴,交抛物线的对称轴于点,作轴于点H,得到矩形,求矩形的周长的最大值;
(3)如图2,点为抛物线对称轴上一点,是否存在点,使以点、、为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)如图①,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 上的任意一点,BF AG 于点 F,DE AG于点 E,探究 BF,DE,EF 之间的数量关系.第一学习小组合作探究后,得到DE–BF= EF,请证明这个结论;
(2)若(1)中的点 G 在 CB 的延长线上,其余条件不变,请在图②中画出图形,并直接写出此时 BF,DE,EF 之间的数量关系;
(3)如图 ③ ,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,AB=AD,E ,F 是AC 上的两点,且满足∠AED=∠BFA=∠BCD.试判断 AC,DE,BF 之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】将从1开始的连续自然数按图规律排列:
列 行 | 第1列 | 第2列 | 第3列 | 第4列 |
第1行 | 1 | 2 | 3 | 4 |
第2行 | 8 | 7 | 6 | 5 |
第3行 | 9 | 10 | 11 | 12 |
第4行 | 16 | 15 | 14 | 13 |
… | … | … | … | … |
第行 | … | … | … | … |
规定位于第行,第列的自然数10记为,自然数15记为…按此规律,自然数2018记为______.
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【题目】如图,点A、B是反比例函数y=(k≠0)图象上的两点,延长线段AB交y轴于点C,且点B为线段AC中点,过点A作AD⊥x轴于点D,点E为线段OD的三等分点,且OE<DE.连接AE、BE,若S△ABE=7,则k的值为( )
A.﹣12B.﹣10C.﹣9D.﹣6
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【题目】如图,在正方形中,点分别是边上的两点,且分别交于.下列结论:①;②平分;③;④.其中正确的结论是( )
A.②③④B.①④C.①②③D.①②③④
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△OAB的斜边OB在x轴上,且OB=4,反比例函数y=(x>0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D,则点D坐标是_____.
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【题目】若一个三位数两个数位上数字的和等于另一个数位上的数字,则称这个三位数为“均衡三位数”.现从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个数字,组成无重复数字且百位数字、十位数字、个位数字依次增大的三位数.
(1)请列举出所有可能得到的三位数;
(2)小明和小亮玩一个游戏,游戏规则如下:若(1)中组成的三位数是“均衡三位数”,则小明胜;否则小亮胜.这个游戏公平吗?说明理由.
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【题目】如图,直线与轴和轴分别交于点和点,点坐标为,将直线在轴下方的部分记作,作关于轴的对称图形.
(1)求的坐标;
(2)若,求的值;
(3)若经过点,求的值
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