Question

如图，在△ABC中，D为AB的延长线上一点，且BD=AC，∠ACB=∠ABC，E是AB的中点，连接CD，CE．求证：CE=

1

2

CD．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：取AC的中点F，连接BF，求出AE=AF，利用“边角边”证明△ABF和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再判断出BF是△ACD的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．

解答：证明：如图，取AC的中点F，连接BF，
∵∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC，
∵E是AB的中点，
∴AE=AF=

1

2

AB，
在△ABF和△ACE中，

AB=AC ∠A=∠A AE=AF

，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴BF=CE，
∵BD=AC，
∴BD=AB，
∴BF是△ACD的中位线，
∴BF=

1

2

CD，
∴CE=

1

2

CD．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等角对等边的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．