Question

如图，AC为⊙O的直径，过点C的切线与弦AB的延长线交于点D，OE为半径，OE⊥AB于点H，连接CE．求证：∠COE=2∠DCE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：连结AE，如图，根据切线的性质得AC⊥CD，则∠ACE+∠DCE=90°，再根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，则利用等角的余角相等得∠DCE=∠CAE，而∠OAE=∠OEA，∠COE=∠OAE+∠OEA，则∠COE=2∠OAE，所以∠COE=2∠DCE．

解答：证明：连结AE，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴AC⊥CD，
∴∠ACE+∠DCE=90°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DCE=∠CAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠COE=∠OAE+∠OEA，
∴∠COE=2∠OAE，
∴∠COE=2∠DCE．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．