Question

【题目】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动 秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）求点B的坐标，并用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，矩形对角线AC，BO交于M，取OM中点G，BM中点H，求证：当t=1时四边形DGPH是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵O（0，0），A（6，0），C（0，3），

∴OA=6，OC=3，

∵四边形OABC是矩形，

∴AB=OC=3，BC=OA=6，

∴B（6，3），

∵动点Q从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动 秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．

∴当点P的运动时间为t（秒）时，

AP=t，OQ= +t，

则OP=OA﹣AP=6﹣t；

（2）

解：当t=1时，OQ= ，则CQ=CQ=OC﹣OQ= ，

由折叠可知：△OPQ≌△DPQ，

∴OQ=DQ= ，

由勾股定理，得：CD=1，

∴D（1，3）；

（3）

证明：如图所示，

由（1），（2）知：当t=1时，

CD=AP=1，OA=BC=6

∴BC﹣CD=OA﹣AP，即BD=OP=5，

∵四边形OABC是矩形，

∴OM=MB，OA∥BC，

∵G为OM中点，H为BM中点，

∴OG=BH，

∵OA∥BC，

∴∠CBO=∠AOB，

在△POG和△DBH中，

∵ ，

∴△POG≌△DBH（SAS），

∴∠OGP=∠BHD，PG=DH，

∴∠MGP=∠DHM，

∴PG∥DH，

∵PG=DH，

∴四边形DGPH是平行四边形．

故当t=1时四边形DGPH是平行四边形．

【解析】（1）由O（0，0），A（6，0），C（0，3），可得：OA=6，OC=3，根据矩形的对边平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，进而可得点B的坐标为：（6，3），然后根据P点与Q点的运动速度与运动时间即可用含t的代数式表示OP，OQ；（2）由翻折的性质可知：△OPQ≌△DPQ，进而可得：DQ=OQ，然后由t=1时，DQ=OQ= ，CQ=OC﹣OQ= ，然后利用勾股定理可求CD的值，进而可求点D的坐标；（3）由（1），（2）知：当t=1时，CD=AP=1，OA=BC=6，进而可得：BD=OP=5，然后由矩形的性质可得：OG=BH，∠CBO=∠AOB，然后根据SAS证明△POG≌△DBH，进而可得PG∥DH，PG=DH，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证：当t=1时四边形DGPH是平行四边形．