Question

⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，  CP，PB.

(1) 如题24﹣1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

(2) 如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；

(3) 如题24﹣3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

Answer 1

【解析】(1) ∵AB为⊙O直径，，

∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，

∵D为OP的中点，

∴OD=，

∴cos∠BOD=，

∴∠BOD=60°，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ODB，

∴AC∥PG，

∴∠BAC=∠BOD=60°；

(2) 由（1）知，CD=BD，

∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，

∴△PDB≌△CDK，

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，

∵∠AOG=∠BOP，

∴AG=BP，

∴AG=CK

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

又∠G=∠OBP，

∴AG∥CK，

∴四边形AGCK是平行四边形；

(3) ∵CE=PE，CD=BD，

∴DE∥PB，即DH∥PB

∵∠G=∠OPB，

∴PB∥AG，

∴DH∥AG，

∴∠OAG=∠OHD，

∵OA=OG，

∴∠OAG=∠G，

∴∠ODH=∠OHD，

∴OD=OH，

又∠ODB=∠HOP，OB=OP，

∴△OBD≌△HOP，

∴∠OHP=∠ODB=90°，

∴PH⊥AB.