Question

如图，在△ABC中，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）t=

 

时△BEF与△ABC相似？
（2）t=

 

时△BEF为等腰三角形？
（3）t=

 

时EF的垂直平分线过点A？

Answer 1

考点：相似三角形的判定,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）用t表示出BF及BE的长，根据相似三角形的对应边成比例即可得出t的值；
（2）分BF=BE，BF=EF与BE=EF三种情况进行讨论；
（3）连接AE，根据EF的垂直平分线过点A可知AE=AF，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．

解答：解：（1）∵F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，
∴BF=10-2t，BE=t，
∴当△BEF∽△BCA时，

BE

BC

=

BF

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，解得t=

30

11

（秒）；
当△BEF∽△BAC时，

BE

AB

=

BF

BC

，即

t

10

=

10-2t

6

，解得t=

50

13

（秒）．
综上所示，当t=

30

11

秒或t=

50

13

秒时，△BEF与△ABC相似．
故答案为：

30

11

秒或

50

13

秒；

（2）当BF=BE时，
∵BF=10-2t，BE=t，
∴10-2t=t，解得t=

10

3

（秒）；
当BF=EF时，如图1所示，
过点F作FD⊥BC于点D，则BD=

1

2

BE=

t

2

，
∵AC⊥BC，
∴DF∥AC，
∴cosB=

BD

BF

=

BC

AB

，即

t 2

10-2t

=

6

10

，解得t=

60

17

（秒）；
当BE=EF时，如图2所示，过点E作ED⊥AB于点D，则BD=

1

2

BF=5-t，
∵AC⊥BC，
∴cosB=

BD

BE

=

BC

AB

，即

5-t

t

=

6

10

．解得t=

25

8

（秒）．
综上所述，t=

10

3

秒或

60

17

秒或

25

8

秒时，△BEF为等腰三角形．
故答案为：

10

3

秒或

60

17

秒或

25

8

秒；

（3）如图3所示，连接AE，
∵EF的垂直平分线过点A，
∴AE=AF．
∵AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=

102-62

=8cm．
∵AF=2t，CE=6-t，
∴2t=

82+(6-t)2

，解得t=（

4 21

3

-2）秒．
故答案为：（

4 21

3

-2）秒．

点评：本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．