Question

【题目】如图，平行四边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，已知，，．

（1）平行四边形的面积为________；

（2）如图1，点是边上的一点，若的面积是平行四边形的，求点的坐标；

（3）如图2，将绕点顺时针旋转，旋转得，在整个旋转过程中，能否使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）32；（2）点E的坐标为（，2）；（3）能，点A1的坐标为或或．

【解析】

（1）由题意可得AB=8，根据平行四边形的面积公式可求得ABCD的面积；
（2）过点E作EF⊥AB，根据△ABE的面积是ABCD的，可求EF的长，根据B点，C点坐标可求直线BC的解析式，把点E的纵坐标代入可求点E的坐标；
（3）分以下三种情况讨论：①四边形OA1D1B是平行四边形，②四边形A1D1OB是平行四边形，③四边形OA1BD1是平行四边形，过点A1作A1E⊥BA于点E．先分别画出示意图，利用旋转的性质，平行四边形的性质再结合面积法及勾股定理可分别得出点A1的坐标．

解：（1）∵OA=3，OB=5，OD=4．
∴AB=8，∴ABCD的面积=4×8=32，
故答案为：32；
（2）过点E作EF⊥AB于F，

∵S△ABE=SABCD，∴×AB×EF=×32，∴EF=2．
∵OB=5，CD=AB=8，OD=4，
∴点B（5，0），点C（8，4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，

，解得，

∴直线BC的解析式为y=，

当y=2时，x=，
∴点E的坐标为（，2）；
（3）能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

∵OA=3，OD=4，∴AD=5，分以下三种情况：

①如图，若四边形OA1D1B是平行四边形，A1D1交y轴于点F，

∵将△AOD绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OD1，
∴A1O=AO=3，OD1=OD=4，∠A1OD1=∠AOD=90°．
∵四边形OA1D1B是平行四边形，

∴A1D1=BO=5，A1D1∥AB，∴∠A1FO=180°-∠AOD=90°，
∴S△A1OD1=×A1O×OD1=×A1D1×OF，

∴OF=，，

∵点A1在第二象限，∴A1的坐标为；

②如图，若四边形A1D1OB是平行四边形，A1D1交y轴于点F，

同①可得，，

∵点A1在第四象限，∴A1的坐标为；

③如图，若四边形OA1BD1是平行四边形，过点A1作A1E⊥BA于点E，

∵OA1BD1是平行四边形，且∠A1OD1=90°，
∴四边形OA1BD1是矩形，∴OD1=A1B=4，∠OA1B=90°，
∵S△A1OB=×OB×A1E=×A1O×A1B，
∴A1E=，∴OE=，

∴A1的坐标为．

综上所述，符合条件的点A1的坐标为或或．