Question

【题目】一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．

（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）284或218．

【解析】整体分析：

（1）M为100a+10b+c，计算M与其“友谊数”的差；（2）用N的“团结数”与N之差为24列方程，结合a，b是正整数求解.

解：（1）由题意可得，

设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，

（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）

=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c

=100（a﹣b）+10（b﹣a）

=90（a﹣b），

∵=6(a-b)，

∴M与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）由题意可得，

N=2×100+10a+b=200+10a+b，

N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，

∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，

解得， 或.

即N是284或218．