Question

1．已知直角梯形ABCF中，AF∥BC，∠ABC=90°，点E为AB的中点，CD垂直平分EF于G，交AF于D，M为CG上一点，MG=EG，连BM下列结论：①若AE=AF，则CD=EF；②若EF=$\sqrt{2}$BM，则AB=AF；③若AE=2$\sqrt{2}$AD，则BC=5AD．其中正确的是（　　）

• A． 只有①②
• B． 只有②③
• C． 只有①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①不正确；证出△AEF是等腰直角三角形，得EF=$\sqrt{2}$AE，由题意得出D与A重合，△ABC是等腰直角三角形，得CD=$\sqrt{2}$AB，证出CD=2$\sqrt{2}$AE，得出CD=2EF，即可得出结论；
②正确；连接MF、ME，证明△MEG、△MEF是等腰直角三角形，得出EF=$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$FM=$\sqrt{2}$BM，得出BM=EM=FM，证出A、E、M、F四点共圆，由圆周角定理得出∠FAM=∠EAM，∠AFM=∠BEM=∠EBM，证出△AFM≌△ABM，即可得出结论；
③正确；连接DE，作EK∥BC交CD于K，则DK=CK，EK∥AF，证出EK=DF，设AD=1，则AE=2$\sqrt{2}$，由勾股定理求出DF=DE=3，得出EK=DF=3，证出EK是梯形ABCF的中位线，得出EK=$\frac{1}{2}$（AD+BC），求出BC=5，即可得出结果．

解答 解：①不正确；理由如下：如图1所示：
∵AF∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAF=90°，
∵AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$AE，
∵CD垂直平分EF于G，
∴D与A重合，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$AB，
∵点E为AB的中点，
∴AB=2AE，
∴CD=2$\sqrt{2}$AE，
∴CD=2EF，
∴CD=EF不正确；
②正确；理由如下：
连接MF、ME，如图2所示：
∵CD垂直平分EF于G，
∴MF=ME，
∵MG=EG，
∴△MEG、△MEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$FM=$\sqrt{2}$BM，
∴BM=EM=FM，
∵∠EMF+∠BAF=180°，
∴A、E、M、F四点共圆，
∴∠FAM=∠EAM，∠AFM=∠BEM=∠EBM，
∴△AFM≌△ABM，
∴AB=AF；
③正确；理由如下：
连接DE，作EK∥BC交CD于K，如图3所示：
则DK=CK，EK∥AF，
∴EK：DF=EG：FG，
∵EG=FG，
∴EK=DF，
设AD=1，则AE=2$\sqrt{2}$，
∴DF=DE=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∴EK=DF=3，
∵EK是梯形ABCF的中位线，
∴EK=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴BC=5，
∴BC=5AD．
正确的是②③，故选：B．

点评 本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、梯形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线才能得出结论．