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【题目】如图,抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)与y轴交于点C(0,8),点D是抛物线上的动点,直线AD与y轴交于点K.

(1)填空:c=

(2)若点D的横坐标为2,连接OD、CD、AC,以AC为直径作M,试判断点D与M的位置关系,并说明理由.

(3)在抛物线上是否存在点D,使得BAC=2BAD?若存在,试求出点D的坐标;若不存在,试说明理由.

【答案】(1)8;(2)点D在M上.理由见试题解析;(3)D的坐标为(2,4)或().

【解析】

试题分析:(1)把C(0,8)代入抛物线y=x2x+c,计算即可求得c的值;

(2)点D与M上,理由:由(1)得抛物线的解析式为:y=x2x+8,进一步得到点D的坐标为(2,4),根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标为(6,0),根据待定系数法可求直线AD的解析式,根据坐标轴上点的坐标特征可求点K的坐标为(0,3),在RtAOK中,根据三角函数得到tanKAO,作DEy轴于点E,则DE=2,CE=84=4,在RtCED中,根据三角函数得到tanECD,tanECD==,可得KAO=ECD,进一步得到ECD+CKD=90°CDK=90°,可得点D在M上.

(3)分两种情况讨论:i)当直线AD在x轴的上方时;ii)当直线AD在x轴的下方时,直线AD关于x轴的对称图形为直线AD',进行讨论,可求符合条件的点D的坐标.

试题解析:(1)把C(0,8)代入抛物线y=x2x+c,得c=8.

故答案为:8;

(2)点D与M上,

理由如下:由(1)得:c=8,抛物线的解析式为:y=x2x+8,

当x=2时,y=×22×2+8=4,点D的坐标为(2,4),

在y=x2x+8中,令y=0,则x2x+8=0,

解得:x1=6,x2=点A的坐标为(6,0).

设直线AD的解析式为y=kx+b(k0),又直线过点A(6,0)和点D(2,4),

,解得:直线AD的解析式为y=x+3.

令x=0,则y=3,点K的坐标为(0,3).

在RtAOK中,tanKAO=

作DEy轴于点E,则DE=2,CE=84=4,

在RtCED中,tanECD

tanKAO=tanECD,

KAO=ECD

∵∠KAO+AKO=90°

∵∠AKO=CKD,

∴∠ECD+CKD=90°CDK=90°

点D在M上.

(3)分两种情况讨论:i)当直线AD在x轴的上方时,由(2)中可知:tanECD=

在RtOED中,tanEOD=tanECD=tanEOD,ECD=EOD,CD=OD,

∵∠AOC=90°点O在M上.在M中,= CAD=DAB,即BAC=2BAD,

点D(2,4)符合题意.

ii)当直线AD在x轴的下方时,直线AD关于x轴的对称图形为直线AD',

设直线AD'上的任意一点为(m,n),则点(m,n)关于x轴的对称点(m,n)在直线AD上,

把点(m,n)代入直线AD的解析式y=x+3,得:n=m+3,n=m3,即y=x3,

联立得:x3=x2x+8,

整理得:5x2+8x132=0,

解得:x1=6,x2=

点D(,-).

综上,符合条件的点D的坐标为(2,4)或(,-).

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