Question

对于正整数a及整数b、c，二次方程ax²+bx+c=0有两根α，β．且满足0＜α＜β＜1．求a的最小值．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：设f（x）=ax²+bx+c，根据条件转化为：f（x）=ax²+bx+c在（0，1）中有两个不同的零点，由二次函数的图象列出不等式，求出a的范围，再根据判断出的结果进行取值，最后求出a的最小值．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c，（a＞0），
∵一元二次方程ax²+bx+c=0在（0，1）中有两个不同的实数根，
∴函数设f（x）=ax²+bx+c在（0，1）中有两个不同的零点，
∴

△=b2-4ac＞0 f(0)=c＞0 f(1)=a+b+c＞0 0＜- b 2a ＜1

，得

b2-4ac＞0 c＞0 a＞-b-c -2a＜b＜0

，则

a＜ b2 4c a＞-b-c a＞- b 2

①，
∵a、c是正整数，b是负整数，
∴取值使

b2

4c

是正整数：
当b=-2，c=1时，由①得a∈∅，此时a无最小整数值；
当b=-4，c=1时，由①得3＜a＜4，此时a无最小整数值；
当b=-6，c=1时，由①得5＜a＜9，此时a有最小整数值为6；
综上可得a有最小整数值为6．

点评：本题主要考查对根的判别式，一元二次方程的根的分布等知识点的理解和掌握，能根据性质进行推理是解此题的关键．