Question

11．探索题：（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
根据前面的规律，回答下列问题：
（1）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x³+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1．
（2）当x=3时，（3-1）（3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+…+3³+3²+3+1）=3²⁰¹⁶-1．
（3）求：2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2³+2²+2+1的值．（请写出解题过程）
（4）求2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2³+2²+2+1的值的个位数字．（只写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据探索材料直接写出答案；
（2）把x=3代入（1）中的等式进行求值；
（3）根据探索材料直接写出答案；
（4）利用题目给出的规律：把2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2³+2²+2+1乘（2-1）得出2²⁰¹⁵-1，研究2²⁰¹⁵的末尾数字规律，进一步解决问题．

解答 解：（1）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x³+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1，
故答案为：xⁿ⁺¹-1；
（2）当x=3时，（3-1）（3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+…+3³+3²+3+1）=3²⁰¹⁶-1，
故答案为：3²⁰¹⁶-1
（3）解：原式=（2-1）（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2³+2²+2+1）=2²⁰¹⁵-1
（4）2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2³+2²+2+1=（2-1）（2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2³+2²+2+1）=2²⁰¹⁷-1，
2¹的末位数字是2，2²的末位数字是4，2³的末位数字是8，2⁴的末位数字是6，2⁵的末位数字是2…，
所以2ⁿ的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2017÷4=504…1，
所以2²⁰¹⁷的末尾数字是2，
2²⁰¹⁷-1的末尾数字是1．

点评 此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．