Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点，且OB＝3OA，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．

（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D的坐标；

（2）如图2，直线y＝+n与抛物线交于G，H两点，直线AH，AG分别交y轴负半轴于M，N两点，求OM+ON的值；

（3）如图1，点P在线段DE上，作等腰△BPQ，使得PB＝PQ，且点Q落在直线CD上，若满足条件的点Q有且只有一个，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣8，D（2，﹣8）（2）9;（3）P（2，8﹣4）

【解析】

（1）由OB=3OA可设A（-t，0），B（3t，0），代入抛物线解析式即得到关于a、t的二元方程，解方程求出a即求得抛物线解析式，配方即得到顶点D的坐标．

（2）由（1）求得t=2可知点A（-2，0），设G（x1，x12-2x1-6），H（x2，x22-2x2-6），把直线y=x+n与抛物线解析式联立方程组，消去y后整理得关于x的一元二次方程，x1、x2即为方程的解，根据韦达定理求得x1+x2=3．设直线AG解析式为y=kx+b，把点A、G坐标代入求出b的值即为点N纵坐标，进而得到用x1表示的ON的值，同理可求得用x2表示的OM的值，相加再把x1+x2代入即求得OM+ON的值．

（3）以点P为圆心，PB长为半径的⊙P，由于满足PB=PQ（即点Q在⊙P上）且点Q在直线CD上的点Q有且只有一个，即⊙P与直线CD只有一个公共点，所以直线CD与⊙P相切于点Q．由（1）得点C、D坐标可知直线CD与DE夹角为45°，△PDQ为等腰直角三角形，PD=

2

PQ=

2

PB．设点P纵坐标为p，用p表示PB和PD的长并列得方程即可求p的值．由于点P在线段DE上，故p的值为负数，舍去正数解．

（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6与x轴交于A，B两点，OB＝3OA

∴设A（﹣t，0），B（3t，0）（t＞0）

∴ 解得：

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8

∴顶点D的坐标为（2，﹣8）

（2）∵t＝2

∴A（﹣2，0）

设抛物线上的点G（x1，x12﹣2x1﹣6），H（x2，x22﹣2x2﹣6）

∵直线y＝+n与抛物线交于G，H两点

∴ 整理得：x2﹣3x﹣12﹣2n＝0

∴x1+x2＝3

设直线AG解析式为y＝kx+b，即N（0，b）（b＜0）

∴

①×x1得：﹣2kx1+bx1＝0 ③

②×2得：2kx1+2b＝x12﹣4x1﹣12 ④

③+④得：（x1+2）b＝（x1+2）（x1﹣6）

∵点G与A不重合，即x1+2≠0

∴b＝x1﹣6即ON＝﹣b＝6﹣x1

同理可得：OM＝6﹣x2

∴OM+ON＝6﹣x2+6﹣x1＝12﹣（x1+x2）＝12﹣3＝9

（3）如图，过点C作CF⊥DE于点F，以点P为圆心、PB为半径作圆

∵PB＝PQ

∴点Q在⊙P上

∵有且只有一个点Q在⊙P上又在直线CD上

∴⊙P与直线CD相切于点Q

∴PQ⊥CD

由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）

∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF

∴∠CDF＝45°

∴△DPQ为等腰直角三角形

∴PD＝PQ

∴PD2＝2PQ2＝2PB2

设P（2，p）（﹣8≤p≤0）

∴PD＝p+8，PB2＝（6﹣2）2+p2＝16+p2

∴（p+8）2＝16+p2

解得：p1＝8﹣4，p2＝8+4（舍去）

∴点P坐标为（2，8﹣4）