【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC斜边BC上的高,E是AD上一点,连接EC,过点E作EF⊥EC交射线BA于点F.AC、EF交于点G,△ECG与△AFG的面积差为1,则线段AE=___.
【答案】
【解析】
在DC上截取BD=ED,连接EM,根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD,∠DEM=∠EMD=45°,AE=CM,求得∠EMC=135°,得到∠EAF=∠EMC=135°,证得∠AEF=∠MCE,从而推出△EAF≌△CME,可得FE=CE.连接FC,设DM=x,AD=a,通过勾股定理用DM表示AE、AF、AC、FC的长度, 再根据△ECG与△AFG的面积差为1列等式解方程求出DM的长度,即可求出AE的长度.
解:如下图所示:
在DC上截取BD=ED,连接EM,FC,设DM=x,
∵AD是等腰直角△ABC斜边BC的高,
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠DEM=∠EMD=45°,AE=CM,
∴∠EMC=180°-∠EMD =180°-45°=135°,∠EAF=∠EAC+∠FAC=45°+90°=135°,
∴∠EAF=∠EMC=135°.
∵ EF⊥EC,
∴∠FEC=90°,∠AEF+∠DEC=90°,
∵∠MEC+∠DEC=90°,
∴∠AEF=∠MCE,
在△EAF和△CME中,
,
∴△EAF≌△CME(ASA),
∴EF=CE,AF=ME.
∵设AD=DC=a,
∴AE= a-x,ED=DM=x,EF=CE = ,AC=a,AF=ME=,FC=.
∵,
∴,
即,
,
,
解得:,(不符合题意,舍去),
∴ED=,
∴AE=.
故答案为:.
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【题目】如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:四边形BFCE是平行四边形;
(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,则BE= 时,四边形BFCE是菱形.
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【题目】小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是20元.调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元,每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;
②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为,(单位:元)
(1)用含的代数式分别表示,.
(2)当取何值时,第二期培植的盆录与花卉售完后获得的总利润最大,最大总利润是多少?
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED为菱形;
(2)连接AE、BE,AE与BE相等吗?请说明理由.
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【题目】下列命题中错误的命题有( )
①线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等;
②若两三角形关于直线L对称,则对应线段所在的直线必相交,且交点在对称轴上;
③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;
④一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等;
⑤有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知:矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点,边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上,且OA=3cm,OC=4cm,点M从点A出发沿AB向终点B运动,点N从点C出发沿CA向终点A运动,点M、N同时出发,且运动的速度均为1cm/秒,当其中一个点到达终点时,另一点即停止运动.设运动的时间为t秒.
(1)当点N运动1秒时,求点N的坐标;(提示:过N作x轴y轴垂线,垂足分别为D,ECN:CA=CE:CO=NE:OA)
(2)试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式;
(3)t为何值时,以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN,翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形?
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【题目】为评估九年级学生的学习成绩状况,以应对即将到来的中考做好教学调整,某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求本中学成绩类别为“中”的人数;
(2)求出扇形图中,“优”所占的百分比,并将条形统计图补充完整;
(3)该校九年级共有1000人参加了这次考试,请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀?
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
①求m的取值范围;
②设x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2-17=0,求m的值.
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【题目】若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为(0,2),则下列说法正确的是( )
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
C. 当x=1时,y有最大值为0
D. 抛物线的对称轴是直线x=
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