Question

如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=3，CD=2．
（1）求b、c之间的数量关系；
（2）若三角形ABC的面积是S，试求出S与c之间的函数关系；
（3）求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：设∠BAD=α，∠DAC=β，
（1）根据正切的定义得tanα=

BD

AD

=

3

AD

；tanβ=

CD

AD

=

2

AD

，由于tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，则tan45°（1-

3

AD

•

2

AD

）=

3

AD

+

2

AD

，解得AD=6或AD=-1（舍去），然后根据勾股定理得到c=3

5

，b=2

10

，则

b

c

=

2 2

3

；
（2）根据三角形面积公式得S=

1

2

bc•sin45°，消去b得S=

1

3

c²；
（3）把c=3

5

代入（2）中的结论中计算即可．

解答：解：设∠BAD=α，∠DAC=β，
（1）在Rt△ABD中，tanα=

BD

AD

=

3

AD

；
在Rt△ADC中，tanβ=

CD

AD

=

2

AD

，
∵tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，
∴tan45°（1-

3

AD

•

2

AD

）=

3

AD

+

2

AD

，
整理得AD²-5AD-6=0，解得AD=6或AD=-1（舍去），
∴AB=c=

BD2+AD2

=3

5

，AC=b=

CD2+AD2

=2

10

，
∴

b

c

=

2 2

3

；
（2）S=

1

2

bc•sin45°=

1

2

•

2 2

3

c•c•

2

2

=

1

3

c²；
（3）S=

1

3

×（3

5

）²=15．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角函数的定义和三角函数公式．